擬似逆行列(5)

行列Aの擬似逆行列（pseudo-inverse）A⁺は、Aの特異値分解（singular value decomposition）が、

A＝UDV^T --- (1)

と書けることを利用して、

A⁺＝VD^-1U^T --- (2)

となります。ここで、Dが正則でない場合には注意ですね。Dが正則でないという意味は、Dの対角要素で逆数がとれないものがある、ということ。具体的には、ゼロであるか、ゼロに非常に近い場合ですね。

このような場合ですが、驚くべきことですが、逆数がとれそうにないものは、それをゼロとしてしまえばよい、ということです。D^-1はそんなふうに計算すればよろしいのです。でも、そうなるとD^-1などと書いてはいけないので、D⁺などと書きましょう。すなわち、

A⁺＝VD⁺U^T --- (3)

でも、ゼロかほぼゼロに近い数値の逆数（つまり∞）を、ゼロにしてもよいというのは、滅多にないことですよね。この事情はなかなか奥が深いと思うのですが、これに対する説明が、例えば、"Numerical Recipes 2nd edition(1992)"、pp.61-62のあたりに載っています。なかなか面白いことが書かれてありますよ。