擬似逆行列(4)

擬似逆行列（pseudo-inverse）A⁺は、以下で定義されます。すなわち、

行列A(m, n)に対して、ランクがmのときは、

A⁺＝A^T(AA^T)^-1 --- (1)

ランクがnのときは、

A⁺＝(A^TA)^-1A^T --- (2)

Wikipedia「擬似逆行列」（日本語版）からの引用であります。

でも...式(1)(2)ともに、逆行列を計算する部分があり、そこがちょっとヤバいですよね。だって、数学的にはともかく、数値的には正則とは言えないことだってありますから。

というわけで、より安全な定式化は、特異値分解（singular value decomposition）を使うやり方でしょうね。すなわち、Aは、

A＝UDV^T --- (3)

と特異値分解できますので、

A⁺＝VD^-1U^T --- (4)

と書くことができます。Dは対角行列なので、D^-1は単に対角成分の逆数をとってやればいいですね。ここでの注意は、逆数がちゃんととれるかどうかをチェックすることだけなので、扱いがそれほど難しくないのです。もちろん成分がゼロだったら逆数はとれませんし、ゼロでなくともゼロに近ければこれもダメなのです。

さて、このようにチェックができたとして、もしも逆数がとれなかった場合、式(4)のA⁺はどのように計算するのでしょうね。