擬似逆行列

私の立場では、さまざまな社内文書がメールに添付されてくるのですが、当然すべてに目を通せません。従って、優先度をつけるわけですが、以下の内規（＝自分で勝手に決めたルール）があります。

1) Toあてで私ひとりに来たもの
2) Toあてで私を含め複数に来たもの
3) Ccあてで来たもの

1)2)は基本的には見ます。3)はアヤシイですが、ここで更に優先度を付けます。つまり、

3-a) 内容に興味のあるもの
3-b) 内容に興味のないもの

これが良いのかどうかわかりませんが、結果的にそうしている、ということですね。

それはさておき、先日、3-a)にあたるもので、某プロジェクトで使うと思われる、ベクトルからベクトルへの写像を推定する計算方法についての資料が来ました。要するに、既知のベクトルa、bがあったとき、aをbの線形関数と見なして、式(1)の行列Mを求める問題です。

a＝Mb --- (1)

もちろん線形関係である保証はありませんので、あくまでも仮定ですね。こう考えられるといいな〜ということ。

さて、式(1)によると、これでは未知変数が多いので、通常の意味では解けません。従って、aとbの組をたくさん持ってきます。するとaとbも行列となって、

A＝MB --- (2)

と書けます。Mを求めたいので、

M＝AB^-1 --- (3)

と書けるとよいのですが、Bは残念ながら正方行列とは限りませんので、式(3)は使えません。困りましたね〜

結論としては、擬似逆行列（pseudo-inverse）B⁺というのが式(4)で定義できて、

B⁺＝B^T(BB^T)^-1 --- (4)

これを式(3)でB^-1の代わりに代入してやると、

M＝AB⁺ --- (5)

として求められるのでした。知っていると便利ですよ（というか必須？）。でも、式(4)はどうやって導出したのでしょうね。