Quaternion(14)

3次元の回転を表す(unit) quaternionは、

q＝cosθ＋usinθ --- (1)

と書けます。ここでの注意は、回転角はθではなく、2θということ。逆に言えば、u軸周りの回転θを表すquaternionは、

q＝cos(θ/2)＋usin(θ/2) --- (2)

と書けます。式(1)よりも、式(2)の方がよく見かけますね。

でも、複素数、

z＝r(cosθ＋isinθ) --- (3)

の回転角はθですね。式(2)と式(3)を見比べると、ちょっと不思議ではないですか？だって、式(2)は周期4πですからね。対して、式(3)は周期2πで、普通ですよね。

式(2)は確かに周期4πですが、一方、「qと−qは同じ3次元の回転を表す」という事実があります。つまり、(unit) quaternion空間、すなわち4次元単位球上では、互いに反対側にあるquaternionは、3次元回転では同じということ。従って、式(2)の4π周期は見せかけであって、実質は2π周期と考えてもよいのではないでしょうか。

ところが、3次元回転だけを考えていれば、qと−qを区別しなくても良いかと言うと、実はそうでもなくて、例えばquaternionの補間を考える場合は、どちらか適切な方を選ばなければ、余計な回転が加わってしまう、ということですね。ですから、やはりqと−qは別物？

結局のところ、quaternionは周期2πではなく、4πなのでしょうが、どうもピンときませんね。それでは、周期4πの「身近な」例ってあるのでしょうか。難しい物理の例はいろいろとあるらしいのですが、誰でも体験できる例が、Snygg著"Clifford Algebra(1997)"、pp.11-13に載っています。本を掌に載せて、その本の姿勢を変えないようにして、平面上に2π回転させてみてください。できたとしても、腕が妙な格好になりますよね。そこでメゲないで、更に本を2π回転させてみると、何と！腕が元通りになるのです。これが4π周期のひとつの例だそうですよ。フ〜ン。